Тип 13 № 11540

$$(*) \cos x \geq 0$$

а) Возведём обе части уравнения в квадрат: $$4\cos2x - 2\sin2x = 4\cos^2x$$ $$4(\cos^2x - \sin^2x) - 2 \cdot 2\sin x \cos x = 4\cos^2x$$ $$8\cos^2x - 4 - 4\sin x \cos x = 4\cos^2x$$ $$4\sin^2x + 4\sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2x + \sin x \cos x = 0$$ $$\sin x(\sin x + \cos x) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = -\cos x \end{aligned} \right.$$

Разделим обе части второго уравнения на $\cos x \neq 0$, так как $\cos x = 0$ не является решением данного уравнения.

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\tg x = -1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

С учётом $(*)$, получаем совокупность:

$$\left[ \begin{aligned} &x = 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; 0\right]$:

1. $x = 2\pi k$: $$-\frac{5\pi}{2} \leq 2\pi k \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{5}{4} \leq k \leq 0$$

На данном отрезке есть $2$ целых значения $k$: $-1; 0$

Найдём корни, зная значения $k$: $$x = 0, x = -2\pi$$

1. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$-\frac{5\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{9}{8} \leq k \leq 0$$ На данном отрезке есть $2$ целых значения $k$: $-1; 0$

Найдём корни, зная значения $k$: $$x = -\frac{\pi}{4}, x = -\frac{9\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{4}, -2\pi, -\frac{\pi}{4}, 0$