Тригонометрические уравнения с ОДЗ

$$(*) \cos x \geq 0$$

а) Возведём обе части уравнения в квадрат: $$4\cos2x - 2\sin2x = 4\cos^2x$$ $$4(\cos^2x - \sin^2x) - 2 \cdot 2\sin x \cos x = 4\cos^2x$$ $$8\cos^2x - 4 - 4\sin x \cos x = 4\cos^2x$$ $$4\sin^2x + 4\sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2x + \sin x \cos x = 0$$ $$\sin x(\sin x + \cos x) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = -\cos x \end{aligned} \right.$$

Разделим обе части второго уравнения на $\cos x \neq 0$, так как $\cos x = 0$ не является решением данного уравнения.

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\tg x = -1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

С учётом $(*)$, получаем совокупность:

$$\left[ \begin{aligned} &x = 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; 0\right]$:

1. $x = 2\pi k$: $$-\frac{5\pi}{2} \leq 2\pi k \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{5}{4} \leq k \leq 0$$

На данном отрезке есть $2$ целых значения $k$: $-1; 0$

Найдём корни, зная значения $k$: $$x = 0, x = -2\pi$$

1. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$-\frac{5\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{9}{8} \leq k \leq 0$$ На данном отрезке есть $2$ целых значения $k$: $-1; 0$

Найдём корни, зная значения $k$: $$x = -\frac{\pi}{4}, x = -\frac{9\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{4}, -2\pi, -\frac{\pi}{4}, 0$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$ Подставляем в уравнение: $$4\cos^2 x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$\frac{4\cos^2 x \sin x - \cos x}{\sin x} = 0$$ $$\frac{\cos x(4\cos x \sin x - 1)}{\sin x} = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & 2\sin 2x - 1= 0\\ \end{aligned} \right. \\ \sin x \neq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k\end{cases}, k \in Z \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = \frac{\pi}{12} + \pi k\\ & x = \frac{5\pi}{12} + \pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k\end{cases}, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[-5\pi; -4\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{12} - 5\pi = -\frac{59\pi}{12}$$ $$\frac{5\pi}{12} - 5\pi = -\frac{55\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставляем в уравнение: $$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\sin x} = -2$$ $$\frac{1 - 3\sin x + 2\sin^2 x}{\sin^2 x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \sin x = \frac{1}{2}\\ \end{aligned} \right. \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k \end{cases}, k\in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}$