Тип 13 № 11542

$(*)$ $\sin 2x > 0$

а) Упростим уравнение, используя свойства степеней: $$5^{2\log_2^2(\sin 2x)} = 5^{1 - \log_2\sin 2x}$$ Так как основания равны, приравняем показатели: $$2\log_2^2(\sin 2x) = 1 - \log_2\sin 2x$$ Сделаем замену $t = \log_2\sin 2x$: $$2t^2 + t - 1 = 0$$ $$D = 1 + 8 = 9$$ $$t = \frac{-1 \pm 3}{4} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = -1 \end{aligned} \right.$$ Возвращаемся к исходной переменной:

1. Для $t = \frac{1}{2}$: $$\log_2\sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$$ Но $\sqrt{2} > 1$, что невозможно для синуса. Решений нет.

2. Для $t = -1$: $$\log_2\sin 2x = -1 \Rightarrow \sin 2x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

$\sin 2x = \frac{1}{2} > 0$, поэтому все корни $x$ будут удовлетворять условию $(*)$

Решаем уравнение: $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$ $$\left[ \begin{aligned} &2x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &2x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\left[ \begin{aligned} & x = \tfrac{\pi}{12} + \pi k \\ &x = \tfrac{5\pi}{12} + \pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$: $$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{12} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$ При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$ - не входит При $k = 1$: $x = \frac{13\pi}{12}$ При $k = 2$: $x = \frac{25\pi}{12}$

2. Для $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$: $$\frac{\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{12} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$ При $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{12} \text{ - не входит }$ При $k = 1$: $x = \frac{17\pi}{12}$ При $k = 2$: $x = \frac{29\pi}{12}$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}, \frac{29\pi}{12}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}, \frac{29\pi}{12}$