Задания повышенной сложности

$(*)$ $\sin 2x > 0$

а) Упростим уравнение, используя свойства степеней: $$5^{2\log_2^2(\sin 2x)} = 5^{1 - \log_2\sin 2x}$$ Так как основания равны, приравняем показатели: $$2\log_2^2(\sin 2x) = 1 - \log_2\sin 2x$$ Сделаем замену $t = \log_2\sin 2x$: $$2t^2 + t - 1 = 0$$ $$D = 1 + 8 = 9$$ $$t = \frac{-1 \pm 3}{4} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = -1 \end{aligned} \right.$$ Возвращаемся к исходной переменной:

1. Для $t = \frac{1}{2}$: $$\log_2\sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$$ Но $\sqrt{2} > 1$, что невозможно для синуса. Решений нет.

2. Для $t = -1$: $$\log_2\sin 2x = -1 \Rightarrow \sin 2x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

$\sin 2x = \frac{1}{2} > 0$, поэтому все корни $x$ будут удовлетворять условию $(*)$

Решаем уравнение: $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$ $$\left[ \begin{aligned} &2x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &2x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\left[ \begin{aligned} & x = \tfrac{\pi}{12} + \pi k \\ &x = \tfrac{5\pi}{12} + \pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$: $$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{12} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$ При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$ - не входит При $k = 1$: $x = \frac{13\pi}{12}$ При $k = 2$: $x = \frac{25\pi}{12}$

2. Для $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$: $$\frac{\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{12} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$ При $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{12} \text{ - не входит }$ При $k = 1$: $x = \frac{17\pi}{12}$ При $k = 2$: $x = \frac{29\pi}{12}$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}, \frac{29\pi}{12}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}, \frac{29\pi}{12}$

а) Упростим уравнение, используя свойства степеней: $$7^{2\log_2^2(\cos x)} = 7^{1 - \log_2\cos x}$$ Так как основания равны, приравняем показатели: $$2\log_2^2(\cos x) = 1 - \log_2\cos x$$ Сделаем замену $t = \log_2\cos x$: $$2t^2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = -1 \end{aligned} \right.$$ Возвращаемся к исходной переменной: $$\left[ \begin{aligned} &\log_2\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = 2^{1/2} = \sqrt{2} \quad \text{(не подходит, так как \(\sqrt{2} > 1\))} \\ &\log_2\cos x = -1 \Rightarrow \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \end{aligned} \right.$$ Таким образом: $$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3}$

а) Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$\log_4(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x) = \log_44^x$$ Так как $4^x$ показательная функция с положительным основанием, она строго положительна при любом $x$, следовательно аргумент левого логарифма также строго положителен при любом $x$. $$4^x - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x = 4^x$$ $$-\sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x = 0$$ $$\sqrt{3}\cos x + 6\sin^2 x = 0$$ Выразим $\sin^2 x$ через $\cos x$: $$\sqrt{3}\cos x + 6(1 - \cos^2 x) = 0$$ $$6\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x - 6 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$6t^2 - \sqrt{3}t - 6 = 0$$ $$D = 3 + 144 = 147$$ $$t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{12} = \frac{\sqrt{3} \pm 7\sqrt{3}}{12}$$ $$t = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{или} \quad t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Так как $\cos x \in [-1; 1]$, то подходит только $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$ $$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$

a)

$$\sqrt3\cos x - \sin x = 2$$ Поделим обе части уравнения на $2$: $$\frac{\sqrt3}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = 1$$ Представим $\frac{\sqrt3}{2}$ как $\sin \frac{\pi}{3}$, а $\frac{1}{2}$ как $\cos(\frac{\pi}{3})$:

$$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x = 1$$ Заметим, что левая часть уравнения представляет собой раскрытый синус разности: $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = 1$$ $$\frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} -2\pi k, k \in Z$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3,5\pi]$:

Найдём целые $k$, при которых корни попадают в данный отрезок:

$$-\pi \leq -\frac{\pi}{6} - 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2}$$ $$-\frac{5\pi}{6} \leq -2\pi k \leq \frac{11\pi}{3}$$ $$\frac{5}{12} \geq k \geq -\frac{11}{6}$$ На отрезке $\left[\frac{5}{12}; -\frac{11}{6}\right]$ всего 2 целых числа: $0; -1;$

Найдём корни, принадлежащие отрезку: $$x = -\frac{\pi}{6}$$ $$x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: a) $-\frac{\pi}{6} -2\pi k, k \in Z$; б) $-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

а) Сделаем замену

$$t=\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2},$$ возведём обе части в квадрат:

$$t^2=\frac{(x-2)^2}{4}-2\cdot\frac{x-2}{2}\cdot\frac{3}{x-2}+\frac{9}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)^2}{4}-3+\frac{9}{(x-2)^2};$$ тогда

$$\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{9}{(x-2)^2}=t^2+3.$$ Имеем:

$$2(t^2+3)=7t+10 \Leftrightarrow 2t^2-7t-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-\frac12,\\ t=4. \end{array} \right.$$

Вернемся к исходной переменной. Если $t=-\frac12$, то

$$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=-\frac12 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne 2,\\ (x-2)^2-6=-(x-2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x^2-3x-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1,\\ x=4. \end{array} \right.$$

Если $t=4$, то

$$\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}=4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne 2,\\ (x-2)^2-6=8(x-2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x^2-12x+14=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=6-\sqrt{22},\\ x=6+\sqrt{22}. \end{array} \right.$$

б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[-2;2]$. В силу неравенств

$$0<6-\sqrt{22}<6-4=2 \quad \text{и} \quad 6+\sqrt{22}>6+4=10>2$$ из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа $-1$ и $6-\sqrt{22}$.

Ответ: а) $\{-1;\ 4;\ 6-\sqrt{22};\ 6+\sqrt{22}\}$; б) $-1;\ 6-\sqrt{22}$.