Тип 13 № 11543

а) Упростим уравнение, используя свойства степеней: $$7^{2\log_2^2(\cos x)} = 7^{1 - \log_2\cos x}$$ Так как основания равны, приравняем показатели: $$2\log_2^2(\cos x) = 1 - \log_2\cos x$$ Сделаем замену $t = \log_2\cos x$: $$2t^2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = -1 \end{aligned} \right.$$ Возвращаемся к исходной переменной: $$\left[ \begin{aligned} &\log_2\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = 2^{1/2} = \sqrt{2} \quad \text{(не подходит, так как \(\sqrt{2} > 1\))} \\ &\log_2\cos x = -1 \Rightarrow \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \end{aligned} \right.$$ Таким образом: $$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3}$