Тип 13 № 11544

а) Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$\log_4(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x) = \log_44^x$$ Так как $4^x$ показательная функция с положительным основанием, она строго положительна при любом $x$, следовательно аргумент левого логарифма также строго положителен при любом $x$. $$4^x - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x = 4^x$$ $$-\sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x = 0$$ $$\sqrt{3}\cos x + 6\sin^2 x = 0$$ Выразим $\sin^2 x$ через $\cos x$: $$\sqrt{3}\cos x + 6(1 - \cos^2 x) = 0$$ $$6\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x - 6 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$6t^2 - \sqrt{3}t - 6 = 0$$ $$D = 3 + 144 = 147$$ $$t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{12} = \frac{\sqrt{3} \pm 7\sqrt{3}}{12}$$ $$t = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{или} \quad t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Так как $\cos x \in [-1; 1]$, то подходит только $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$ $$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$