a)
3 cos x − sin x = 2 \sqrt3\cos x - \sin x = 2 3 cos x − sin x = 2 2 2 2 3 2 cos x − 1 2 sin x = 1 \frac{\sqrt3}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = 1 2 3 cos x − 2 1 sin x = 1 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 sin π 3 \sin \frac{\pi}{3} sin 3 π 1 2 \frac{1}{2} 2 1 cos ( π 3 ) \cos(\frac{\pi}{3}) cos ( 3 π )
sin ( π 3 ) cos x − cos ( π 3 ) sin x = 1 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin x = 1 sin ( 3 π ) cos x − cos ( 3 π ) sin x = 1 sin ( π 3 − x ) = 1 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = 1 sin ( 3 π − x ) = 1 π 3 − x = π 2 + 2 π k , k ∈ Z ⇔ x = − π 6 − 2 π k , k ∈ Z \frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} -2\pi k, k \in Z 3 π − x = 2 π + 2 π k , k ∈ Z ⇔ x = − 6 π − 2 π k , k ∈ Z
б) Отберём корни, принадлежащие промежутку [ − π ; 3 , 5 π ] [-\pi; 3,5\pi] [ − π ; 3 , 5 π ]
Найдём целые k k k
− π ≤ − π 6 − 2 π k ≤ 7 π 2 -\pi \leq -\frac{\pi}{6} - 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2} − π ≤ − 6 π − 2 π k ≤ 2 7 π − 5 π 6 ≤ − 2 π k ≤ 11 π 3 -\frac{5\pi}{6} \leq -2\pi k \leq \frac{11\pi}{3} − 6 5 π ≤ − 2 π k ≤ 3 11 π 5 12 ≥ k ≥ − 11 6 \frac{5}{12} \geq k \geq -\frac{11}{6} 12 5 ≥ k ≥ − 6 11 [ 5 12 ; − 11 6 ] \left[\frac{5}{12}; -\frac{11}{6}\right] [ 12 5 ; − 6 11 ] 0 ; − 1 ; 0; -1; 0 ; − 1 ;
Найдём корни, принадлежащие отрезку:
x = − π 6 x = -\frac{\pi}{6} x = − 6 π x = − π 6 + 2 π = 11 π 6 x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} x = − 6 π + 2 π = 6 11 π
Ответ: a) − π 6 − 2 π k , k ∈ Z -\frac{\pi}{6} -2\pi k, k \in Z − 6 π − 2 π k , k ∈ Z ; б) − π 6 ; 11 π 6 -\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} − 6 π ; 6 11 π