Тип 13 № 11604

Заметим, что $4^{\sin x+1}=4\cdot4^{\sin x}$ и $16^{\sin x}=(4^2)^{\sin x}=(4^{\sin x})^2$. Обозначим $$t=4^{\sin x}>0.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид $$t^2-6t+8=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; (t-2)(t-4)=0.$$ С учётом $t>0$ получаем два случая: $$\begin{aligned} &4^{\sin x}=2=4^{1/2}\;\;\Rightarrow\;\; \sin x=\tfrac{1}{2},\\[2mm] &4^{\sin x}=4=4^{1}\;\;\Rightarrow\;\; \sin x=1. \end{aligned}$$ Следовательно, $$\sin x=\tfrac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\; x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;\; \text{или}\;\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$ $$\sin x=1\;\;\Rightarrow\;\; x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-5\pi;-\tfrac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. Подставляя подходящие $k$, имеем $$\tfrac{\pi}{6}-4\pi=-\tfrac{23\pi}{6}\in\left[-5\pi;-\tfrac{7\pi}{2}\right]$$ $$\tfrac{\pi}{2}-4\pi=-\tfrac{7\pi}{2}\in\left[-5\pi;-\tfrac{7\pi}{2}\right].$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\; \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; \tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\tfrac{23\pi}{6},\; -\tfrac{7\pi}{2}$.