Тригонометрические уравнения смешанные

$$\left(*\right) \begin{cases} 2\sin^2x > 0\\ \log_{31}\sqrt2\cos x \neq 0\\ \sqrt2\cos x > 0\\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq \pi k, k \in Z\\ x \neq \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z\\ \cos x > 0\\ \cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z \end{cases}$$

а) $$\left[ \begin{aligned} & \tg x = -\sqrt3\\ &\log_{13}2\sin^2x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tg x = -\sqrt3\\ &\sin x = \pm\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z\\ &x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z \end{aligned} \right.$$

С учётом $\left(*\right)$

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi= \frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{3}$

$$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt2 \;\Leftrightarrow\; (2^{5\cos x})^{\sin x}=2^{5/2} \;\Leftrightarrow\; 2^{5\sin x\cos x}=2^{5/2} \;\Leftrightarrow\; 5\sin x\cos x=\tfrac{5}{2}$$ $$\; \sin 2x=1 \;\Rightarrow\; 2x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z} \;\Leftrightarrow\; x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберём на отрезке $\left[-\tfrac{9\pi}{2};-3\pi\right]$ при помощи числовой окружности:

$$\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\tfrac{15\pi}{4}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};\quad$ б) $-\tfrac{15\pi}{4}$.

Заметим, что $4^{\sin x+1}=4\cdot4^{\sin x}$ и $16^{\sin x}=(4^2)^{\sin x}=(4^{\sin x})^2$. Обозначим $$t=4^{\sin x}>0.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид $$t^2-6t+8=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; (t-2)(t-4)=0.$$ С учётом $t>0$ получаем два случая: $$\begin{aligned} &4^{\sin x}=2=4^{1/2}\;\;\Rightarrow\;\; \sin x=\tfrac{1}{2},\\[2mm] &4^{\sin x}=4=4^{1}\;\;\Rightarrow\;\; \sin x=1. \end{aligned}$$ Следовательно, $$\sin x=\tfrac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\; x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;\; \text{или}\;\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$ $$\sin x=1\;\;\Rightarrow\;\; x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-5\pi;-\tfrac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. Подставляя подходящие $k$, имеем $$\tfrac{\pi}{6}-4\pi=-\tfrac{23\pi}{6}\in\left[-5\pi;-\tfrac{7\pi}{2}\right]$$ $$\tfrac{\pi}{2}-4\pi=-\tfrac{7\pi}{2}\in\left[-5\pi;-\tfrac{7\pi}{2}\right].$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\; \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; \tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\tfrac{23\pi}{6},\; -\tfrac{7\pi}{2}$.

Сделаем замену: $$t = 4^{\cos x} > 0.$$ Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 9t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - \tfrac{1}{2})(t - 4) = 0$$ $$4^{\cos x} = 4 \quad \text{ или } 4^{\cos x} = \frac{1}{2}$$ $$4^{\cos x} = 4^1 \quad \text{ или } 4^{\cos x} = (4)^{-\tfrac{1}{2}}$$ $$\cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\tfrac{1}{2}.$$ $$x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \text{ или } x = \pm \tfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi;-\tfrac{3\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. $$-2\pi - \frac{2\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}, -2\pi$$

Ответ: а) $2\pi k,\; \pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\tfrac{8\pi}{3},\;-2\pi$.

Сделаем замену $t=9^{\cos x}>0$. Тогда исходное уравнение принимает вид $$t^2-12t+27=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; (t-3)(t-9)=0.$$ Следовательно, $$t=3 \;\; \text{или} \;\; t=9.$$

1. $9^{\cos x}=9 \;\Rightarrow\; 3^{2\cos x}=3 \;\Rightarrow\; 2\cos x=1 \;\Rightarrow\; \cos x=\tfrac12 \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

2. $9^{\cos x}=9=3^2 \;\Rightarrow\; 3^{2\cos x}=3^2 \;\Rightarrow\; \cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-4\pi;-\tfrac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. $$-4\pi, \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi,\;-\tfrac{11\pi}{3}.$$

Ответ: а) $2\pi k,\; \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};\qquad$ б) $-4\pi,\;-\tfrac{11\pi}{3}$.