Тип 13 № 11606

Сделаем замену $t=9^{\cos x}>0$. Тогда исходное уравнение принимает вид $$t^2-12t+27=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; (t-3)(t-9)=0.$$ Следовательно, $$t=3 \;\; \text{или} \;\; t=9.$$

1. $9^{\cos x}=9 \;\Rightarrow\; 3^{2\cos x}=3 \;\Rightarrow\; 2\cos x=1 \;\Rightarrow\; \cos x=\tfrac12 \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

2. $9^{\cos x}=9=3^2 \;\Rightarrow\; 3^{2\cos x}=3^2 \;\Rightarrow\; \cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-4\pi;-\tfrac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. $$-4\pi, \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi,\;-\tfrac{11\pi}{3}.$$

Ответ: а) $2\pi k,\; \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};\qquad$ б) $-4\pi,\;-\tfrac{11\pi}{3}$.