Тип 13 № 11609

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, имеем $$9^{\sin x}+9^{-\sin x}=\tfrac{10}{3}.$$ Обозначим $t=9^{\sin x}>0$. Тогда $$t+\frac{1}{t}=\tfrac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad 3t^2-10t+3=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; t=3\;\; \text{или}\;\; t=\tfrac{1}{3}.$$

1. $9^{\sin x}=3 \;\Rightarrow\; 3^{2\sin x}=3 \;\Rightarrow\; 2\sin x=1 \;\Rightarrow\; \sin x=\tfrac{1}{2}.$

2. $9^{\sin x}=\tfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; 3^{2\sin x}=3^{-1} \;\Rightarrow\; 2\sin x=-1 \;\Rightarrow\; \sin x=-\tfrac{1}{2}.$

$$\sin x=\tfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;\;\text{или}\;\;x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z},$$ $$\sin x=-\tfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;\;\text{или}\;\;x=-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\tfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$-\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{19\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{17\pi}{6}$$ $$-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{6} + \pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\tfrac{19\pi}{6},\;-\tfrac{17\pi}{6},\;-\tfrac{13\pi}{6}$.