Тип 13 № 11610

$$(27^{\cos x})^{\sin x} = 27^{\cos x \cdot \sin x} = (3^3)^{\cos x \sin x} = 3^{3\cos x \sin x}.$$

Получаем уравнение: $$3^{3\cos x \sin x} = 3^{\tfrac{3 \cos x}{2}} \;\;\;\Rightarrow\;\;\; 3\cos x \sin x = \tfrac{3 \cos x}{2}.$$ $$\cos x \sin x = \tfrac{\cos x}{2}.$$ $$\cos x \left(\sin x - \tfrac{1}{2}\right) = 0.$$ $$\cos x = 0 \;\;\;\;\; \text{или} \;\;\;\;\; \sin x = \tfrac{1}{2}.$$

1. $\cos x = 0 \;\;\Rightarrow\;\; x = \tfrac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

2. $\sin x = \tfrac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k \;\;\;\text{или}\;\;\; x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\pi;\tfrac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\;\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\; x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{2}$.