Тип 13 № 11611

Обозначим $t=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{\cos x}>0$. Тогда $$\left(\tfrac{4}{9}\right)^{\cos x}=\left(\left(\tfrac{2}{3}\right)^2\right)^{\cos x}=t^2,$$ и исходное уравнение принимает вид $$t^2+2t-3=0\;\;\Leftrightarrow\;\;(t-1)(t+3)=0.$$ С учётом $t>0$ получаем единственное решение $$t=1 \;\;\Leftrightarrow\;\; \left(\tfrac{2}{3}\right)^{\cos x}=1 \;\;\Rightarrow\;\; \cos x=0.$$ Следовательно, $$x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[\pi; 4\pi]$: $$\pi \le \tfrac{\pi}{2}+\pi k \le 4\pi.$$ Вычитаем $\tfrac{\pi}{2}$: $$\tfrac{\pi}{2} \le \pi k \le \tfrac{7\pi}{2}.$$ Делим на $\pi$: $$\tfrac{1}{2} \le k \le \tfrac{7}{2}.$$ Так как $k\in\mathbb{Z}$, имеем $k=1,2,3$. Соответствующие значения $$x=\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{2},\;\tfrac{7\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{2},\;\tfrac{7\pi}{2}$.