Тип 13 № 11612

Обозначим $t=\left(\tfrac{2}{5}\right)^{\cos x} > 0$, тогда $\left(\tfrac{5}{2}\right)^{\cos x}=\tfrac{1}{t}$.

Получаем уравнение: $$t+\frac{1}{t}=2$$ Домножим уравнение на $t \neq 0$: $$t^2-2t+1=0 \;\;\;\Leftrightarrow\;\;\; (t-1)^2=0 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; t=1.$$

Следовательно: $$\left(\tfrac{2}{5}\right)^{\cos x}=1 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \cos x=0.$$

Тогда: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) На отрезке $\left[-3\pi; -\tfrac{3\pi}{2}\right]$ корни:

$$x=-\tfrac{5\pi}{2},\;\; x=-\tfrac{3\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $-\tfrac{5\pi}{2},\;-\tfrac{3\pi}{2}$.