Тип 13 № 11616

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \cos(2x) = 1$$ Выразим $\cos(2x)$ через $\sin^2 x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1 \Leftrightarrow -2\sin^2 x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \pi k\\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., k\in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$