Тип 13 № 11617

Используем формулу приведения для косинуса: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$ $$\cos 2x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin ^2x$: $$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$$

Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$2t^2 + \sqrt2t - 2 = 0$$ $$D = 2 + 16 = 18$$ $$t = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$$ $$t = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{2} \notin[-1; 1]$$ $$\sin x = \frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi, \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$