Тип 13 № 11621

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow -\sin^2 x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow -\sin^2 x = -\frac{1}{4} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; 2.5\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$