Тип 13 № 11625

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\cos 2x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x (-2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$