Тип 13 № 11628

Раскроем синус суммы: $$\sin x + 2\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$ $$\sin x + \cos 2x = 1$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$ $$-2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x (-2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ при :

$$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{19\pi}{6}, -3\pi, -2\pi$