Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Преобразуем уравнение, группируя слагаемые: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0$$ $$\cos^2 x + 1 = 0 \text{ или } 2\cos x - 1= 0$$ $$\cos^2 x = -1 \quad \text{не имеет корней}$$ $$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$

Корень, принадлежащий промежутку: $$\frac{7\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{3}$

$$4\sin^3x + 4\sqrt{3}(1 - \sin^2x) + 3\sin x - 4\sqrt{3} = 0$$ $$4\sin^3x + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\sin^2x + 3\sin x - 4\sqrt{3} = 0$$ $$4\sin^3x - 4\sqrt{3}\sin^2x + 3\sin x = 0$$ $$\sin x(4\sin^2x - 4\sqrt{3}\sin x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &4\sin^2x - 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k, k \in Z \\ & (2\sin x - \sqrt3)^2 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k, k \in Z \\ & \sin x = \frac{\sqrt3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k\\ &x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ & x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

Ответ: $x = \pi k; \ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Раскроем синус суммы: $$\sin x + 2\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$ $$\sin x + \cos 2x = 1$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$ $$-2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x (-2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ при :

$$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{19\pi}{6}, -3\pi, -2\pi$

Используем формулу синуса суммы: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x) = \cos x$$ $$2\sin^2x + \sin x + \cos x = \cos x$$ $$2\sin^2x + \sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$\left[ \begin{aligned} & x = \pi k \\ & x = x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\\ & x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k, n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi, -\pi, -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-2\pi, -\pi, -\frac{5\pi}{6}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$\sin^3 x + 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1$$ $$\sin^3 x - 2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x (\sin^2 x - 2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x (\sin x - 1)^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 1$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi$