Тип 13 № 11629

Используем формулу синуса суммы: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x) = \cos x$$ $$2\sin^2x + \sin x + \cos x = \cos x$$ $$2\sin^2x + \sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$\left[ \begin{aligned} & x = \pi k \\ & x = x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\\ & x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k, n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi, -\pi, -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-2\pi, -\pi, -\frac{5\pi}{6}$