Тип 13 № 11632

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$3(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x + 1 = 0$$ $$3 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$$ $$-6\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$$ $$6\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$6t^2 + 5t - 4 = 0$$ $$D = 25 + 96 = 121$$ $$t = \frac{-5 \pm 11}{12}$$ $$t = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{4}{3} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{6}$