Тригонометрические уравнения с заменой

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$3(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x + 1 = 0$$ $$3 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$$ $$-6\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$$ $$6\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$6t^2 + 5t - 4 = 0$$ $$D = 25 + 96 = 121$$ $$t = \frac{-5 \pm 11}{12}$$ $$t = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{4}{3} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{6}$

Упростим уравнение, используя свойство нечётности синуса: $$\cos 2x - 3\sin x - 2 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$1 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$$ $$-2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x$: $$2t^2 + 3t + 1 = 0$$ $$D = 9 - 8 = 1$$ $$t = \frac{-3 \pm 1}{4}$$ $$t = -1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$$ $$\sin x = -1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

Перенесём все члены в одну сторону: $$2\sin^3 x - \sqrt{2}\cos^2 x - 2\sin x = 0$$ Выразим $\cos^2 x$ через $\sin x$: $$2\sin^3 x - \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) - 2\sin x = 0$$ $$2\sin^3 x + \sqrt{2}\sin^2 x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x$: $$2t^3 + \sqrt{2}t^2 - 2t - \sqrt{2} = 0$$ $$(t^2 - 1)(2t + \sqrt{2}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &t = 1 \\ &t = -1 \\ &t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 1 \\ &\sin x = -1 \\ &\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$:

$$-\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{11\pi}{4}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-4\pi, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

1. Сделаем замену $t = \tan x$: $$t^2 + 5t + 6 = 0$$ $$t = -2 \quad \text{или} \quad t = -3$$

2. Обратная замена: $$\tan x = -2 \Rightarrow x = -\arctan 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\tan x = -3 \Rightarrow x = -\arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$: $$-\arctan 2 - \pi; -\arctan 3 - \pi$$

Ответ: а) $-\arctan 2 + \pi k;-\arctan 3 + \pi k; k \in \mathbb{Z};$ б) $-\arctan 2 - \pi; -\arctan 3 - \pi$

Преобразуем уравнение: $$6(1 - \sin^2 x) + 5\sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ $$-6\sin^2 x + 5\sqrt{2}\sin x + 8 = 0$$ $$6\sin^2 x - 5\sqrt{2}\sin x - 8 = 0$$

Сделаем замену: $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$6t^2 - 5\sqrt{2}t - 8 = 0$$ $$D = 50 + 4\cdot8\cdot6 = 242$$ $$t = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{242}}{12}$$ $$t = \frac{5\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{12}$$ $$t = \frac{4\sqrt{2}}{3} \quad \notin [-1; 1] \quad \text{или} \quad t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Обратная замена: $$\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие промежутку: $$\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k;-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$

б) $\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4};$