Тип 12 № 11708

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x^2-10x+10)e^{10-x}\right)' = (2x-10)e^{10-x} - (x^2-10x+10)e^{10-x} =$$ $$= e^{10 - x}(-x^2 + 10x + -10 + 2x - 10) = e^{10-x}(-x^2+12x-20)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{10-x}(-x^2+12x-20) = 0 \Leftrightarrow -x^2+12x-20 = 0$$ $e^{10 -x} > 0$ при любых $x$

Решая квадратное уравнение получаем: $$x = 2 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке попадает $x=10$)

1. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[5,10]$ и убывает на $[10,11]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (100-100+10)e^{0} = 10$$