Произведение и экспонента

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-8)e^{x-7}\right)' = e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} = e^{x-7}(x - 8 + 1) = e^{x-7}(x - 7)$$

2. Найдём нули производной: $$(x-7)e^{x-7} = 0 \Rightarrow x=7$$ (так как $e^{x-7} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[6,7]$ и возрастает на $[7,8]$, поэтому $x=7$ - точка минимума.

1. Наименьшее значение: $$y(7) = (7-8)e^{0} = -1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+16)e^{x-16}\right)' = e^{x-16} + (x+16)e^{x-16} = e^{x-16}(x + 16 + 1) = e^{x-16}(x + 17)$$

2. Найдём нули производной: $$(x+17)e^{x-16} = 0 \Rightarrow x=-17$$ (так как $e^{x-16} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < -17$ и возрастает при $x > -17$, поэтому $x = -17$ - точка минимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((9-x)e^{x+9}\right)' = -e^{x+9} + (9-x)e^{x+9} = e^{x+9}(8 - x)$$

2. Найдём нули производной: $$(8-x)e^{x+9} = 0 \Rightarrow x=8$$ (так как $e^{x+9} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 8$ и убывает при $x > 8$, поэтому $x = 8$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3-x)e^{3-x}\right)' = -e^{3-x} + (3-x)(-e^{3-x}) = -e^{3 - x}(1 + 3 - x)= e^{3-x}(x - 4)$$

2. Найдём нули производной: $$(x-4)e^{3-x} = 0 \Rightarrow x=4$$ (так как $e^{3-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+16)e^{16-x}\right)' = e^{16-x} + (x+16)(-e^{16-x}) = e^{16-x} + (-x - 16) e^{16-x}$$

$$e^{16-x}(1 - x - 16) = e^{16-x}(-15 - x)$$

1. Найдём нули производной: $$(-15-x)e^{16-x} = 0 \Rightarrow x=-15$$ (так как $e^{16-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < -15$ и убывает при $x > -15$, поэтому $x = -15$ - точка максимума.