Тип 12 № 11709

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-2)^2e^{x-2}\right)' = 2(x-2)e^{x-2} + (x-2)^2e^{x-2} =$$

$$= e^{x - 2}(x - 2)(x - 2 + 2)= e^{x-2}(x - 2)x$$

1. Найдём нули производной: $$e^{x-2}(x - 2)x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ ($e^{x - 2} > 0$ при любых $x$, на отрезке попадает $x=2$)

2. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,2]$ и возрастает на $[2,4]$, следовательно наименьшее значение в точке $x=2$: $$y(2) = (0)^2e^{0} = 0$$