Тип 10 № 11733

Пусть $t$ — время в минутах, через которое минутная стрелка поравняется с часовой. Угловая скорость минутной стрелки составляет $6$ градусов в минуту, а часовой — $0.5$ градуса в минуту.

Угол между часовыми отметками составляет: $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$, поэтому в начальный момент времени угол между стрелками: $$30^\circ \cdot 8 = 240^\circ$$

Уравнение для нахождения времени: $$6t = 0.5t + 240 + 360k$$

• $6t$ — угол, на который повернётся минутная стрелка за время $t$
• $0.5t$ — угол, на который повернётся часовая стрелка за время $t$
• $240$ — начальный угол между стрелками
• $360k$ ($k \in \mathbb{Z}$) — учитывает полные обороты минутной стрелки

Для четвёртого совпадения $k = 3$, так как первый раз стрелки встретятся между отметками $8$ и $9$ $(k = 0)$, второй раз между $9$ и $10$ и так далее: $$6t = 0.5t + 240 + 1080 \Rightarrow 5.5t = 1320 \Rightarrow t = 240$$