Относительное движение

Пусть $x$ — скорость товарного поезда (км/ч). Тогда скорость скорого поезда равна $x + 45$ км/ч (так как $750$ м/мин = $45$ км/ч). Составим таблицу:

Разница во времени составляет $2$ часа: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 45} = 2$$ $$180(x + 45) - 180x = 2x(x + 45)$$ $$8100 = 2x^2 + 90x \Rightarrow 2x^2 + 90x - 8100 = 0$$ $$x^2 + 45x - 4050 = 0$$ $$D = 2025 + 16200 = 18225$$ $$x = \frac{-45 \pm \sqrt{18225}}{2} = \frac{-45 \pm 135}{2}$$ $$x = 45, \quad x = -90$$

Так как скорость положительна: $x = 45$.

Пусть скорость второго пешехода равна $x$ км/ч, тогда скорость первого пешехода равна $x + 1,5$ км/ч. Разница в скоростях составляет $1,5$ км/ч. Расстояние между пешеходами станет равным $300$ метрам ($0,3$ км) через время $t$ часов:

$$(x + 1,5 - x) \cdot t = 0,3$$ $$1,5t = 0,3 \Rightarrow t = 0,2 \text{ часа} = 12 \text{ минут}$$

Пусть скорость первого мотоциклиста равна $x$ км/ч, тогда скорость второго мотоциклиста равна $x + 21$ км/ч. Разница в скоростях составляет $21$ км/ч. Первоначальное расстояние между мотоциклистами равно половине длины трассы, то есть $7$ км. Время, через которое они поравняются, равно:

$$t = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \text{ часа} = 20 \text{ минут}$$

Обозначим за $x$ км/ч — скорость третьего велосипедиста, а за $t$ ч — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста.

Составим уравнения согласно условию задачи:

$$xt = 10(t + 1)$$ $$x = \frac{10(t + 1)}{t}$$ Также нам известно, что спустя 2 часа 20 минут после этого первого велосипедиста догнал третий: $$15\cdot\left(t + 2 + \frac{7}{3}\right) = x \left(t + \frac{7}{3} \right)$$ Подставим $x$ из первого уравнения: $$15\cdot\left(t + 2 + \frac{7}{3}\right) = \frac{10(t + 1)}{t}\cdot \left(t + \frac{7}{3} \right) \Leftrightarrow \frac{15}{3}\cdot(3t + 13) = \frac{10(t + 1)(3t + 7)}{3t}$$ $$9t^2 + 39t = 6t^2 + 20t + 14 \Leftrightarrow 3t^2 + 19t - 14 = 0$$

Решая квадратное уравнение получаем корни:

$$t = \frac{2}{3}, \quad t= -7$$

Так как по смыслу задачи $t > 0$: $t = \frac{2}{3}$

Вычислим скорость третьего велосипедиста:

$$x = \frac{10(t + 1)}{t} = \frac{10(\frac{2}{3} + 1)}{\frac{2}{3}} = 25$$

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Разница в скоростях составляет $80 - x$ км/ч. За $40$ минут ($\frac{2}{3}$ часа) первый автомобиль должен проехать на $14$ км больше:

$$(80 - x) \cdot \frac{2}{3} = 14$$ $$80 - x = 21 \Rightarrow x = 59 \text{ км/ч}$$