Тип 13 № 11842

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0$$ $$D = 18 - 16 = 2$$ $$t = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$$ $$t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{2} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$