Тип 13 № 11843

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$ Подставим в уравнение: $$2(2\cos^2 x - 1) + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 x + 4\sqrt{3}\cos x - 9 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x \in [-1; 1]$: $$4t^2 + 4\sqrt{3}t - 9 = 0$$ $$D = 48 + 144 = 192$$ $$t = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{8}$$ $$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \notin [-1; 1]$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{23\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{23\pi}{6}$