Тип 13 № 11844

Раскроем синус суммы: $$\sqrt{2}(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}\cos x = \sin 2x - 1$$ $$\sin 2x + \cos 2x + \sqrt{2}\cos x = \sin 2x - 1$$ $$\cos 2x + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ $$2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0$$ $$\cos x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}$