Тип 13 № 11845

Раскроем синус суммы: $$2\sqrt{3}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$$ $$\sqrt{3}\sin x + 3\cos x - \cos 2x = 3\cos x - 1$$ $$\sqrt{3}\sin x - \cos 2x + 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$\sqrt{3}\sin x - (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}$