Тип 13 № 11846

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{3} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3}\sin x = \sin 2x + \sqrt{3}$$ $$\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x - \sqrt{3}\sin x = \sin 2x + \sqrt{3}$$ $$\sqrt{3}\cos 2x - \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3}$$ $$\cos 2x - \sin x = 1$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$1 - 2\sin^2 x - \sin x = 1$$ $$-2\sin^2 x - \sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, 3\pi, \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, \frac{19\pi}{6}, 3\pi$