Тип 13 № 11847

Используем формулу синуса суммы: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ Подставим в уравнение: $$\cos^2x + \sin x = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ $$\cos^2x + \sin x = \sin x + \cos x$$ $$\cos^2x - \cos x = 0$$ $$\cos x (\cos x - 1) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-4\pi, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$