Тип 13 № 11850

Используем формулу понижения степени синуса: $$\sin^2\left(\frac{7\pi}{12} + x\right) = \frac{1 - \cos (\frac{7\pi}{6} + 2x)}{2}$$ Упростим уравнение: $$8\left(\frac{1 - \cos (\frac{7\pi}{6} + 2x)}{2}\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow 4 - 4\cos \left(\frac{7\pi}{6} + 2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4 - 4\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\cdot\cos 2x - \sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)\cdot\sin2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4 +2\sqrt3\cos 2x -2\sin2x - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sin2x = -1 \Leftrightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ & 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right., k \in Z \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -\frac{\pi}{12} + \pi k \\ & x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k\\ \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{5\pi}{12} - 3\pi = -\frac{41\pi}{12}$$ $$-\frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{37\pi}{12}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$-\frac{41\pi}{12}, -\frac{37\pi}{12}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{12} + \pi k, -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{41\pi}{12}, -\frac{37\pi}{12}$