Тип 13 № 11851

Используем формулу понижения степени косинуса: $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$ Подставим в уравнение: $$1 - 4 \cdot \frac{1 + \cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right)}{2} = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$1 - 2 - 2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$-1 - 2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos 2x$$ $$2\cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ Раскроем косинус разности: $$2\left(\cos 2x \cos \frac{5\pi}{6} + \sin 2x \sin \frac{5\pi}{6}\right) + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ $$2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ $$-\sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x + 1 = 0$$ $$\sin 2x + 1 = 0$$ $$\sin 2x = -1$$ $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{17\pi}{4}, -\frac{13\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{17\pi}{4}, -\frac{13\pi}{4}$