Тип 13 № 11852

Используем формулу понижения степени косинуса: $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$ Подставим в уравнение: $$\sqrt{2} \sin(2x) + 4 \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right)}{2} = 2 + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2 + 2\cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = 2 + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = \sqrt{2}$$ Раскроем косинус суммы: $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2\left(\cos \frac{3\pi}{4} \cos 2x - \sin \frac{3\pi}{4} \sin 2x\right) = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) + 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x\right) = \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2} \sin(2x) - \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x = \sqrt{2}$$ $$-\sqrt{2} \cos 2x = \sqrt{2}$$ $$\cos 2x = -1$$ $$2x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$