Тип 13 № 11856

Используем формулу понижения степени синуса: $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$ Подставим в уравнение: $$16\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 + 8\cos 2x - 7 = 0$$ $$16 \cdot \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} + 8\cos 2x - 7 = 0$$ $$4 - 8\cos 2x + 4\cos^2 2x + 8\cos 2x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 2x - 3 = 0$$ $$\cos^2 2x = \frac{3}{4}$$ $$\cos 2x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[0,5\pi; 2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}, \quad \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}$$ $$-\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}, \quad -\frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{7\pi}{12}, \quad -\frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{19\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$