Тип 13 № 11858

Используем формулу понижения степени косинуса: $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$ Подставим в уравнение: $$4\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 + 9\cos 2x - 1 = 0$$ $$4 \cdot \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} + 9\cos 2x - 1 = 0$$ $$1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x + 9\cos 2x - 1 = 0$$ $$\cos^2 2x + 11\cos 2x = 0$$ $$\cos 2x (\cos 2x + 11) = 0$$ $$\cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 2x = -11 \notin [-1; 1] \text{ не подходит}$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$