Тип 13 № 11862

Упростим уравнение, используя свойство нечётности синуса: $$\cos 2x - 3\sin x - 2 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$1 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$$ $$-2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x$: $$2t^2 + 3t + 1 = 0$$ $$D = 9 - 8 = 1$$ $$t = \frac{-3 \pm 1}{4}$$ $$t = -1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$$ $$\sin x = -1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$