Задание 16: Вклады — ЕГЭ по математике

Егор положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате чего остаток на счете стал равен 3,4 миллиона рублей. А еще через год, после начисления процентов, остаток на его счете увеличился 2,2 раза по сравнению с исходной суммой. Какую сумму (в млн. руб.) Егор положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк начислил один и тот же процент годовых?

Источник: Решу ЕГЭ

Решение:

Пусть:

$S$ — первоначальная сумма вклада (в млн руб.)
$k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент роста вклада за год (где $r$ — годовая процентная ставка)

Первый год:

Вклад увеличивается на проценты: $S \cdot k$
После этого Егор добавляет 0,9 от первоначальной суммы: $S \cdot k + 0,9S$
По условию после этих операций сумма стала 3,4 млн руб.: $S \cdot k + 0,9S = 3,4$ $k = \frac{3,4 - 0,9S}{S} \quad (1)$

Второй год:

Сумма в начале второго года (3,4 млн руб.) увеличивается на проценты: $3,4 \cdot k$
По условию эта сумма равна 2,2 от первоначальной: $3,4 \cdot k = 2,2S$ $k = \frac{2,2S}{3,4} \quad (2)$

Решаем систему уравнений:

Приравняем выражения (1) и (2) для $k$ : $\frac{3,4 - 0,9S}{S} = \frac{2,2S}{3,4}$

Умножим обе части на $3,4S$ : $3,4(3,4 - 0,9S) = 2,2S^2$ $11,56 - 3,06S = 2,2S^2$

Перенесем все в одну сторону: $2,2S^2 + 3,06S - 11,56 = 0$

Умножим на 100 для удобства: $220S^2 + 306S - 1156 = 0$

Сократим на 2: $110S^2 + 153S - 578 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 153^2 - 4 \cdot 110 \cdot (-578) = 23409 + 254320 = 277729$ $\sqrt{D} = 527$ $S = \frac{-153 \pm 527}{220}$

Отбрасываем отрицательный корень: $S = \frac{-153 + 527}{220} = \frac{374}{220} = 1,7$

Проверка: Найдем коэффициент $k$ : $k = \frac{2,2 \cdot 1,7}{3,4} = \frac{3,74}{3,4} = 1,1$

Проверим первый год: $1,7 \cdot 1,1 + 0,9 \cdot 1,7 = 1,87 + 1,53 = 3,4$ — верно

Проверим второй год: $3,4 \cdot 1,1 = 3,74$ $2,2 \cdot 1,7 = 3,74$ — верно

Ответ 1,7