Вклады

Пусть $S$ — первоначальный вклад (в млн рублей). Рассмотрим динамику изменения вклада по годам:

1. Первый год: - Начало: $S$ - Конец: $S \cdot 1.1$
2. Второй год: - Начало: $S \cdot 1.1$ - Конец: $S \cdot 1.1^2 = 1.21S$
3. Третий год: - Начало: $1.21S + 5$ (пополнение на 5 млн) - Конец: $(1.21S + 5) \cdot 1.1 = 1.331S + 5.5$
4. Четвертый год: - Начало: $1.331S + 5.5 + 5 = 1.331S + 10.5$ (пополнение на 5 млн) - Конец: $(1.331S + 10.5) \cdot 1.1 = 1.4641S + 11.55$

Общая сумма в конце 4 лет: $1.4641S + 11.55$ млн рублей.

Суммарные пополнения: $5 + 5 = 10$ млн рублей.

Начисленные проценты вычисляются как: $$\text{Итоговая сумма} - \text{Первоначальный вклад} - \text{Пополнения} > 10$$ $$(1.4641S + 11.55) - S - 10 > 10$$ $$0.4641S + 1.55 > 10$$ $$0.4641S > 8.45$$ $$S > \frac{8.45}{0.4641} \approx 18.207$$

Поскольку $S$ должно быть целым числом млн рублей, минимальное подходящее значение $S = 19$ млн рублей.

Ответ 19

Пусть $S$ — первоначальный вклад (в млн рублей). Рассмотрим динамику изменения вклада по годам:

1. Первый год: - Начало: $S$ - Конец: $S \cdot 1.1 = 1.1S$
2. Второй год: - Начало: $1.1S$ - Конец: $1.1S \cdot 1.1 = 1.21S$
3. Третий год: - Начало: $1.21S + 10$ (пополнение на 10 млн) - Конец: $(1.21S + 10) \cdot 1.1 = 1.331S + 11$
4. Четвертый год: - Начало: $1.331S + 11 + 10 = 1.331S + 21$ (пополнение на 10 млн) - Конец: $(1.331S + 21) \cdot 1.1 = 1.4641S + 23.1$

Общая сумма в конце 4 лет: $1.4641S + 23.1$ млн рублей.

Суммарные пополнения: $10 + 10 = 20$ млн рублей.

Начисленные проценты вычисляются как: $$\text{Итоговая сумма} - \text{Первоначальный вклад} - \text{Пополнения} < 15$$ $$(1.4641S + 23.1) - S - 20 < 15$$ $$0.4641S + 3.1 < 15$$ $$0.4641S < 11.9$$ $$S < \frac{11.9}{0.4641} \approx 25.64$$

Поскольку $S$ должно быть целым числом млн рублей, наибольшее подходящее значение $S = 25$ млн рублей.

Ответ 25

Пусть $S$ — первоначальный вклад (в млн рублей). Рассмотрим динамику изменения вклада по годам:

1. Первый год: - Начало: $S$ - Конец: $S \cdot 1.1$
2. Второй год: - Начало: $S \cdot 1.1$ - Конец: $S \cdot 1.1^2 = 1.21S$
3. Третий год: - Начало: $1.21S + 3$ (пополнение на 3 млн) - Конец: $(1.21S + 3) \cdot 1.1 = 1.331S + 3.3$
4. Четвертый год: - Начало: $1.331S + 3.3 + 3 = 1.331S + 6.3$ (пополнение на 3 млн) - Конец: $(1.331S + 6.3) \cdot 1.1 = 1.4641S + 6.93$

Общая сумма в конце 4 лет: $1.4641S + 6.93$ млн рублей.

Суммарные пополнения: $3 + 3 = 6$ млн рублей.

Начисленные проценты вычисляются как: $$\text{Итоговая сумма} - \text{Первоначальный вклад} - \text{Пополнения} > 5$$ $$(1.4641S + 6.93) - S - 6 > 5$$ $$0.4641S + 0.93 > 5$$ $$0.4641S > 4.07$$ $$S > \frac{4.07}{0.4641} \approx 8.77$$

Поскольку $S$ должно быть целым числом млн рублей, минимальное подходящее значение $S = 9$ млн рублей.

Проверка

Проверим для $S = 9$ млн рублей:

• Конец 1 года: $9 \cdot 1.1 = 9.9$
• Конец 2 года: $9.9 \cdot 1.1 = 10.89$
• Начало 3 года: $10.89 + 3 = 13.89$
• Конец 3 года: $13.89 \cdot 1.1 = 15.279$
• Начало 4 года: $15.279 + 3 = 18.279$
• Конец 4 года: $18.279 \cdot 1.1 \approx 20.1069$

Начисленные проценты: $20.1069 - 9 - 6 = 5.1069 > 5$ млн рублей — условие выполняется.

Для $S = 8$ млн рублей: $$1.4641 \cdot 8 + 6.93 - 8 - 6 \approx 4.84 < 5$$ — условие не выполняется.

Ответ 9

Пусть:

• $S = 3600$ тыс. руб. — первоначальная сумма вклада
• $S'$ — сумма вклада к концу третьего года
• $x$ — фиксированная сумма пополнения (в тыс. руб.)
• $1,1$ — коэффициент ежегодного увеличения (10% годовых)

Составим таблицу движения денежных средств:

По условию задачи: $$S' = \left(1 + \frac{48,5}{100}\right) \cdot S = 1,485 \cdot S$$

С другой стороны: $$S' = ((1,1 \cdot S + x) \cdot 1,1 + x) \cdot 1,1$$

Раскроем это выражение: $$S' = (1,1^2 \cdot S + 1,1 \cdot x + x) \cdot 1,1 = 1,1^3 \cdot S + 1,1^2 \cdot x + 1,1 \cdot x$$

Приравняем два выражения для $S'$: $$1,331S + 1,21x + 1,1x = 1,485S$$ $$2,31x = 1,485S - 1,331S$$ $$2,31x = 0,154S$$ $$x = \frac{0,154}{2,31}S = \frac{154}{2310}S$$

Подставим $S = 3600$ тыс. руб.: $$x = \frac{154}{2310} \cdot 3600 = \frac{154 \times 3600}{2310} = \frac{554400}{2310} = 240 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ 240

Движение средств Саши (в тыс. руб.)

Движение средств Паши (в тыс. руб.)

Сравнение результатов

$$\begin{align*} \text{Разница} &= 37,895 - 36,74 \\ &= 1,155 \text{ тыс. руб.} \\ &= \mathbf{1155} \text{ рублей} \end{align*}$$

Альтернативное решение через формулы

Для Саши: $$\begin{align*} &((50 \times 1,1 \times 0,9) \times 1,1 - 20) \times 1,1 \\ &= (49,5 \times 1,1 - 20) \times 1,1 \\ &= (54,45 - 20) \times 1,1 \\ &= 34,45 \times 1,1 = 37,895 \text{ тыс. руб.} \end{align*}$$

Для Паши: $$\begin{align*} &((50 \times 1,1 \times 0,8) \times 1,1 - 15) \times 1,1 \\ &= (44 \times 1,1 - 15) \times 1,1 \\ &= (48,4 - 15) \times 1,1 \\ &= 33,4 \times 1,1 = 36,74 \text{ тыс. руб.} \end{align*}$$

Разница: $37,895 - 36,74 = 1,155$ тыс. руб. = 1155 рублей

Ответ 1155