Тип 16 № 11968

Пусть:

• $S = 64\,000$ руб. — начальная сумма вклада,
• $k = 1 + \frac{25}{100} = \frac{5}{4}$ — повышающий коэффициент,
• $x$ — фиксированная сумма, добавляемая ежегодно.

Выразим сумму вклада по годам:

• Конец 1-го года: $kS + x$,
• Конец 2-го года: $k^2S + kx + x$,
• Конец 3-го года: $k^3S + k^2x + kx + x$,
• Конец 4-го года: $k^4S + k^3x + k^2x + kx$.

По условию сумма в конце 4-го года равна 385,000 руб.: $$k^4S + k^3x + k^2x + kx = 385\,000.$$

Выразим $x$: $$x = \frac{385\,000 - k^4S}{k^3 + k^2 + k}.$$

Подставим числовые значения: $$k^4S = \left(\frac{5}{4}\right)^4 \cdot 64\,000 = \frac{625}{256} \cdot 64\,000 = 156\,250,$$ $$k^3 + k^2 + k = \left(\frac{5}{4}\right)^3 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} = \frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} = \frac{125 + 100 + 80}{64} = \frac{305}{64}.$$

Тогда: $$x = \frac{385\,000 - 156\,250}{\frac{305}{64}} = \frac{228\,750 \cdot 64}{305} = 48\,000.$$

Ответ: 48,000