Тип 16 № 11979

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплат:

1 марта каждого года банк начисляет 10% на остаток долга
Затем Аркадий делает платеж
Кредит погашен за 3 платежа, где: - Второй платеж в 2 раза больше первого - Третий платеж в 3 раза больше первого
Общая сумма выплат: 2 395 800 рублей

Найдите сумму кредита.

Источник: Решу ЕГЭ

Решение:

Определим размеры платежей: $\text{Пусть } x \text{ — первый платеж, тогда:}$ $x + 2x + 3x = 6x = 2\,395\,800 \Rightarrow x = 399\,300 \text{ руб.}$ $\text{Платежи: } 399\,300 \text{ руб., } 798\,600 \text{ руб., } 1\,197\,900 \text{ руб.}$
Пусть $S$ — сумма кредита. Рассмотрим динамику долга:

01.03.2011 (после 1 года): $Долг: 1.1S$ $После платежа: 1.1S - 399\,300$
01.03.2012 (после 2 лет): $Долг: 1.1(1.1S - 399\,300) = 1.21S - 439\,230$ $После платежа: 1.21S - 439\,230 - 798\,600 = 1.21S - 1\,237\,830$
01.03.2013 (после 3 лет): $Долг: 1.1(1.21S - 1\,237\,830) = 1.331S - 1\,361\,613$ $После платежа: 1.331S - 1\,361\,613 - 1\,197\,900 = 0$

Решаем уравнение: $1.331S = 2\,559\,513$ $S = \frac{2\,559\,513}{1.331} = 1\,923\,000 \text{ руб.}$

Ответ 1,923,000