Кредиты, неравномерное уменьшение долга

Математическая модель

Пусть:

• $S = 4,2$ млн. руб. — сумма кредита.
• $x = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга.
• $N$ — размер выплат в 2020 и 2021 годах.

Из условия для 2021 года: $$(Sx - N)x - N = 0 \Rightarrow N = \frac{Sx^2}{1 + x}$$

Общие выплаты: $$3(Sx - S) + 2N = 6,1$$ Подставляем $N$: $$3(4,2x - 4,2) + 2 \cdot \frac{4,2x^2}{1 + x} = 6,1$$

Упрощаем уравнение: $$12,6x - 12,6 + \frac{8,4x^2}{1 + x} = 6,1$$ $$\frac{8,4x^2}{1 + x} = 18,7 - 12,6x$$ $$8,4x^2 = (1 + x)(18,7 - 12,6x)$$ $$21x^2 - 6,1x - 18,7 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$x = 1,1 \Rightarrow r = 10\%$$

Ответ: 10

Математическая модель

1. Уравнение для полного погашения в 2021 году: $$1.2(1.2S - 360) - 360 = 0$$ $$1.44S - 432 - 360 = 0$$ $$1.44S = 792$$ $$S = \frac{792}{1.44} = 550 \text{ тыс. руб.}$$

2. Выплаты:

• 2017-2019: $3 \times 0.2 \times 550 = 330$ тыс. руб.
• 2020-2021: $2 \times 360 = 720$ тыс. руб.

1. Общая сумма выплат: $$330 + 720 = 1050 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 1050

1. Определим размеры платежей: $$\text{Пусть } x \text{ — первый платеж, тогда:}$$ $$x + 2x + 3x = 6x = 2\,395\,800 \Rightarrow x = 399\,300 \text{ руб.}$$ $$\text{Платежи: } 399\,300 \text{ руб., } 798\,600 \text{ руб., } 1\,197\,900 \text{ руб.}$$

2. Пусть $S$ — сумма кредита. Рассмотрим динамику долга:

• 01.03.2011 (после 1 года): $$Долг: 1.1S$$ $$После платежа: 1.1S - 399\,300$$
• 01.03.2012 (после 2 лет): $$Долг: 1.1(1.1S - 399\,300) = 1.21S - 439\,230$$ $$После платежа: 1.21S - 439\,230 - 798\,600 = 1.21S - 1\,237\,830$$
• 01.03.2013 (после 3 лет): $$Долг: 1.1(1.21S - 1\,237\,830) = 1.331S - 1\,361\,613$$ $$После платежа: 1.331S - 1\,361\,613 - 1\,197\,900 = 0$$

1. Решаем уравнение: $$1.331S = 2\,559\,513$$ $$S = \frac{2\,559\,513}{1.331} = 1\,923\,000 \text{ руб.}$$

Ответ 1,923,000

За 10 месяцев долг уменьшился на $1200-400=800$ тыс. руб.

Долг уменьшался каждый месяц на $\frac{800}{10} =80$ тыс. руб.:

Составим математическую модель для общей суммы выплат: $$S_{выплат} =S( долг) +все\%\\ S_{выплат} =S+S\cdot 0,01+( S-80) \cdot 0,01+( S-2\cdot 80) \cdot 0,01+( S-3\cdot 80) \cdot 0,01+\\ (S-4\cdot 80) \cdot 0,01+( S-5\cdot 80) \cdot 0,01+( S-6\cdot 80) \cdot 0,01+( S-7\cdot 80) \cdot 0,01+( S-8\cdot 80) \cdot 0,01+\\ +(S-9\cdot 80) \cdot 0,01+( S-10\cdot 80) \cdot 0,01\\ S_{выплат} =S+0,11\cdot S-44=1,11\cdot S-44\\ S_{выплат} =1,11\cdot 1200-44=1288\ тыс.руб.$$ Ответ: 1288

За 30 месяцев долг уменьшился на $900-300=600$ тыс. руб. Долг уменьшался каждый месяц на $\frac{600}{30} =20$ тыс. руб.: Пусть $S$ - сумма долга, а $S - ( n-1) \cdot 20$ - изменение долга каждый месяц, где $n$ - номер месяца.

Составим математическую модель для общей суммы выплат: $$S_{выплат} =S( долг) +все\%\\ S_{выплат} = S+S\cdot 0,02+( S-20) \cdot 0,02+( S-2\cdot 20) \cdot 0,02+( S-3\cdot 20) \cdot 0,02+( S-4\cdot 20) \cdot 0,02+\dotsc \\ +( S-30\cdot 20) \cdot 0,02\\ S_{выплат} =S+0,02(\frac{2\cdot 900-600}{2} \cdot 31)\\ S_{выплат} =S+0,02(\frac{2\cdot S-600}{2} \cdot 31) =1272\ тыс.руб.$$ Ответ: 1272