Тип 13 № 11987

$$\left(*\right) \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2\pi k, k \in Z$$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$ Подставим в уравнение: $$4\cos^2 x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$\frac{4\cos^2 x \sin x - \cos x}{\sin x} = 0$$ $$\frac{\cos x (4\cos x \sin x - 1)}{\sin x} = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4\cos x \sin x - 1 = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x - 1 = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 2x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[-5\pi; -4\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{12} - 5\pi = -\frac{59\pi}{12}$$ $$\frac{5\pi}{12} - 5\pi = -\frac{55\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$