Тип 13 № 11990

Используем формулу приведения: $$\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x$$ Подставляем в уравнение: $$\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$$ $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3} \frac{5\pi}{2}$