Тип 13 № 11991

Раскроем квадрат суммы: $$\sqrt{3}\cos 2x = 3 - 3(\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x)$$ $$\sqrt{3}\cos 2x = 3 - 3(1 + \sin 2x)$$ $$\sqrt{3}\cos 2x + 3\sin 2x = 0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt3}{2}\sin 2x = 0$$ Заметим, что выражение представляет собой раскрытый синус суммы: $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12}$$ $$-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$