Тип 13 № 11998

Используем формулу понижения степени: $$8 \cdot \frac{1 - \cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2x\right)}{2} - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5$$ $$4 - 4\cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5$$ Раскроем косинус суммы: $$-4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 1$$ $$2\sqrt{3}\cos 2x - 2\sin 2x - 2\sqrt{3}\cos 2x = 1$$ $$2\sin 2x = -1$$ $$\sin 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right]$:

$$-\frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{37\pi}{12}$$ $$-\frac{5\pi}{12} - 3\pi = -\frac{41\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{37\pi}{12}, -\frac{41\pi}{12}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{12} + \pi k, -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{37\pi}{12}, -\frac{41\pi}{12}$