Тип 13 № 12000

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \cos 2x = 1$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$ $$-2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x(-2\sin x + 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$